W044 ロビン・ウィルソン

作家番号： W044	ロビン・ウィルソン	Wilson, Robin
	国籍：イギリス	生没年：1943/12/5～
オックスフォード大学数学科卒業。ペンシルヴェニア大学で数論を研究し、博士号を取得。オックスフォード大学ケブル・カレッジの数学フェロー、英国オープン・ユニヴァーシティの純粋数学科学科長を務める。著書多数。

管理番号	書　　名		メ　　モ
W044-001	四色問題		簡単で、難解で、有名な、数学の難問の物語

		Ver. 3.01

管理番号：W044-001

55 技術史・科学史

出版社：新潮社

書名：四色問題			ISBN978-4-10-218461-5　C0141
原題：Four Colours Suffice　（2002）		翻訳者：茂木健一郎
新潮文庫シ38-11	価格：670Yen	ページ数：384P		本のサイズ：文庫
初版発行：2013/12/1	購入：2014/2/23	カバー写真：杉浦喜美子

　四色問題を提示することは、非常に簡単である。それは、地図の色分けについての問題だ。われわれが地図に色を塗るときには、ごく自然に、隣り合う国々を違った色で塗り分けようとするものだ。その方が区別しやすいからである。それでは、地図全体に色を塗るには、どれだけの色が必要なのだろうか？
　一見すると、地図が複雑になればなるほど、多くの色が必要になるように思われるかも知れない。けれども、驚いたことにそうではない。どんな地図でも、多くて四色あれば、塗り分けられてしまうようなのだ。　　（P17）

　そう、四色問題とはこういうもの。
　地図では国を示す色は四色あればいいらしい。ほかの塗り分けでも、同じ法則が働くようだ。
　これは、見ればわかる、やれば分かるレベルの、一種の経験則です。それなりの人が
　「多分、これは疑う必要もないし法則、定理と考えていいんじゃない？」
　といえばそれで通用します。
　しかし、そこで数学者は考えた。本当にそう言いきってしまっていいの？

　この本は、ぱっと見は簡単なはずですが、実はとんでもなくハイレベルなものであった四色問題の経緯と、それの証明に取り組んだ数学者たちの歴史を描いたものです。
色の塗り分けの例

　まず、いくつかのルールを確立する必要があります。問題をある程度単純化する強うがあるからです。
　隣り合う国は、必ず違う色で塗ること。これはまァ大原則。右図の図２ａ、図２ｂはこれに相当します。ドイツ、ベルギー、フランス、ルクセンブルクを見れば分かりますように。
　ところが図３のように、中心の国の周囲を偶数の国が囲んでいた場合、３色ですむこともあるのです。周囲が五国になれば、この時は四色必要となります。
　そしてもうひとつのルールとして、たとえばアメリカ合衆国の州のように、四国以上の国あるいは州が一点で接している場合は、線で接していなければ同じ色でよい、という原則も必要です。
　また、たとえば五大湖によって分割されているアメリカのミシガン州のように、「飛び地」になっている場合は、現実の地図であれば同じ色で塗るべきでしょうけれど、問題がややこしくなるので行わないことにします。
　それと、この地図の周囲をどうするのか、という問題があります。これについては、この地図が平面状ではなく地球儀のような球体の表面にあるものとします。とすれば、周囲は一つの国として繋がったものと考えられます。

　この問題がいつ提起されたのかは、かなり正確に分かっています。

　 1852年10月23日、ロンドンのユニヴァーシティー・カレッジの数学教授オーガスタス・ド・モルガンは、アイルランド人の著名な数学者であり物理学者でもあるウィリアム・ローワン・ハミルトン卿に宛てて、一通の手紙を書いた。このこと自体は、とりたてて珍しいことではなかった。二人は長年の文通友達で、家族の近況を知らせたり、ロンドンとダブリンの科学界における最新のゴシップを報告したりする他に、自分の数学研究についても少しは打ち明けていたからである。二人とも、この文通から数学の歴史物語が紡ぎだされることになるとは夢想だにしていなかったに違いない。けれども、四色問題は、たしかにこの手紙から始まったのだ。　　（P39-40)

　この手紙の中で、四色問題が数学者たちの中に証明すべき問題として意識されたのだそうな。
　こうして、1976年7月23日、ロンドンのタイムズ紙に、ケネス・アッペル (Kenneth Appel) とヴォルフガング・ハーケン (Wolfgang Haken) によってこの問題が証明されたと宣言されるまで、120余年に渡る数学者たちの苦闘が続いたのです。
　この命題があまりに地味であったため無視され忘れられた期間があった、という問題はあるにしても、一流の数学者たちを引きつけたこの四色問題とはいったい何であったのか。どのようにして証明されたのか。その証明に関する問題点とはないか。
　この本は、丁寧にそして面白く、この歴史を描いています。

　しかしこの問題は、たしかに奥は深そうですが、あまりに地味でした。
　そこで数学者は考えた。地図の四色問題は球面まで含めて二次元の平面で考える問題である。で、同時にその世界が球面である場合も、同じ考えで成り立つ。
トーラス上の塗り分け

　しからば、これがトーラス状、すなわちドーナツのような舞台ではどうなのか。これは実は、七色であろうという答えは得られました。証明はこれからですが、平面状の四色問題が証明されれば解決できる問題であろう。
　その証明は、あまりに地味なので誰がやるのかも、いつになるかも分からないが。

　ではこれが三次元となった場合、塗り分けはどうなるのか。
　四次元では。十八次元では。
　数学者はどんどん話を広げます。

　四色問題を数学として解く過程も、数学者としてはあたりまえの展開なのでしょうが、素人的には暴走としかいいようがない広がりを見せます。何度かの試行ののち、いくつかの錯誤、見当違い、誤解などを経て、いくたの副産物を生みながら、探索は続く。
　そしてその結果、用いられた方法は、考えうるあらゆる状況を想定し、そのひとつひとつの命題をコンピュータでつぶしていく、というもの。回答が出て証明されたあと、数学者たちは困惑します。
　たしかに、この手法もありかもしれない。細かい、膨大な時間がかかる計算をコンピュータで行う事は、別にルールに反しはしない。
　しかし、コンピュータによる計算とは、本当に正しいのか。
　コンピュータが計算した値は、全ての桁について間違いないのか。
　仮に間違いが発生したとして、コンピュータが打ち出した何千ページにもわたる数字の羅列を、どうやって検証するのか。

　とりあえず証明はされたのですが、これでは美しくない、と考える人もいるそうです。それもありかもしれない。
　なるほど、この世界は奥が深い。　　（2014/7/27）